Pada 20 Mac, ahli matematik Amerika-Kanada Robert Langlands menerima Hadiah Abel, meraikan pencapaian seumur hidup dalam matematik. Penyelidikan Langlands menunjukkan bagaimana konsep dari geometri, aljabar dan analisis boleh dibawa bersama oleh satu pautan umum ke nombor utama.
Apabila Raja Norway menyampaikan anugerah itu kepada Langlands pada bulan Mei, dia akan menghormati yang terbaru dalam usaha 2, 300 tahun untuk memahami nombor perdana, yang boleh dikatakan data terbesar dan tertua yang ditetapkan dalam matematik. Sebagai ahli matematik yang dikhaskan untuk program "Langlands" ini, saya tertarik dengan sejarah nombor utama dan bagaimana kemajuan baru-baru ini menggoda rahsia mereka. Kenapa mereka telah menawan ahli matematik selama ribuan tahun?
Untuk mempelajari primes, ahli matematik menyerang nombor keseluruhan melalui satu rangkaian maya selepas satu lagi sehingga hanya bilangan prima kekal. Proses pengedaran ini menghasilkan jadual berjuta-juta prima pada tahun 1800-an. Ia membolehkan komputer hari ini untuk mencari bilion prima dalam masa kurang dari satu saat. Tetapi idea utama penapis tidak berubah dalam lebih daripada 2, 000 tahun.
"Nombor perdana adalah yang diukur oleh satuan sahaja, " ahli matematik Euclid menulis pada 300 SM Ini bermakna nombor perdana tidak dapat dibahagikan secara merata dengan jumlah yang lebih kecil kecuali 1. Dengan konvensyen, ahli matematik tidak mengira 1 dirinya sendiri sebagai nombor perdana. Euclid membuktikan kebesaran prima-mereka pergi selama-lamanya-tetapi sejarah menunjukkan bahawa Eratosthenes yang memberi kita penyaring untuk cepat menyenaraikan prima.
Inilah idea penapis. Pertama, keluarkan kelipatan dari 2, kemudian 3, kemudian 5, kemudian 7 - empat prima yang pertama. Jika anda melakukan ini dengan semua nombor dari 2 hingga 100, hanya angka prima akan kekal.
Gandaan berkelip dari 2, 3, 5 dan 7 meninggalkan hanya prima antara 1 dan 100. (Bernilai MH Weissman) Dengan lapan langkah penapisan, seseorang boleh mengasingkan prima sehingga 400. Dengan 168 langkah penapisan, seseorang boleh mengasingkan prima sehingga 1 juta. Itulah kuasa penyaring Eratosthenes.
**********
Tokoh awal dalam taburan prima adalah John Pell, ahli matematik Inggeris yang mendedikasikan dirinya untuk membuat jadual nombor berguna. Dia bermotivasi untuk menyelesaikan masalah aritmetik purba Diophantos, tetapi juga dengan usaha peribadi untuk menyusun kebenaran matematik. Terima kasih kepada usahanya, bilangan prima sehingga 100, 000 telah diedarkan secara meluas pada awal tahun 1700-an. Menjelang tahun 1800, projek-projek bebas telah menjadualkan bilangan prima sehingga 1 juta.
Untuk mengotomatikkan langkah-langkah penyingkiran yang membosankan, seorang ahli matematik Jerman bernama Carl Friedrich Hindenburg menggunakan slider laras untuk memadamkan kelip-kelip di seluruh halaman sesebuah meja sekaligus. Satu lagi pendekatan berteknologi rendah tetapi berkesan menggunakan stensil untuk mencari gandaan. Menjelang pertengahan 1800an, ahli matematik Jakob Kulik telah memulakan projek bercita-cita tinggi untuk mencari semua prima sehingga 100 juta.
A stensil yang digunakan oleh Kulik untuk menyaringkan gandaan 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Gambar dari Denis Roegel, Pengarang disediakan) "Data besar" tahun 1800 ini mungkin hanya berfungsi sebagai jadual rujukan, jika Carl Friedrich Gauss tidak memutuskan untuk menganalisis prima untuk kepentingan mereka sendiri. Berbekalkan senarai prima hingga 3 juta, Gauss mula mengira mereka, satu "chiliad, " atau sekumpulan 1, 000 unit, pada satu masa. Beliau mengira bilangan prima sehingga 1, 000, kemudian bilangan prima antara 1, 000 dan 2, 000, kemudian antara 2, 000 dan 3, 000 dan seterusnya.
Gauss mendapati bahawa, ketika ia dikira lebih tinggi, prima secara beransur-ansur menjadi kurang kerap menurut undang-undang "terbalik-log". Undang-undang Gauss tidak menunjukkan betapa bilangan prima ada, tetapi ia memberikan anggaran yang cukup baik. Sebagai contoh, undang-undangnya meramalkan 72 prima antara 1, 000, 000 dan 1, 001, 000. Kiraan yang betul adalah 75 prima, kira-kira ralat 4 peratus.
Satu abad selepas penerokaan pertama Gauss, undang-undangnya dibuktikan dalam "teorem nombor perdana." Kesilapan peratus mendekati sifar pada julat yang lebih besar dan lebih besar. Hipotesis Riemann, masalah hadiah berjuta-juta dolar hari ini juga menggambarkan betapa tepatnya anggaran Gauss.
Teorema nombor perdana dan hipotesis Riemann mendapat perhatian dan wang, tetapi kedua-duanya diikuti pada analisis data yang lebih awal, kurang glamor.
.....
Hari ini, set data kami datang dari program komputer dan bukan stensil potongan tangan, tetapi ahli matematik masih mencari corak baru dalam prima.
Kecuali untuk 2 dan 5, semua angka perdana berakhir pada angka 1, 3, 7 atau 9. Pada tahun 1800-an, terbukti bahawa angka-angka terakhir yang mungkin ini sama-sama kerap. Dengan kata lain, jika anda melihat prima sehingga satu juta, kira-kira 25 peratus berakhir dalam 1, 25 peratus berakhir dalam 3, 25 peratus berakhir pada 7, dan 25 peratus berakhir pada 9.
Beberapa tahun yang lalu, teorema nombor Stanford, Lemke Oliver dan Kannan Soundararajan telah ditangkap oleh kebiasaan dalam angka terakhir bilangan prima. Eksperimen memandang angka akhir perdana, serta digit terakhir perdana yang akan datang. Sebagai contoh, perdana seterusnya selepas 23 adalah 29: Satu melihat 3 dan kemudian 9 pada digit terakhir mereka. Adakah seseorang melihat 3 maka 9 lebih kerap daripada 3 kemudian 7, di antara angka terakhir bilangan prima?
Kekerapan pasangan mata wang terakhir, di kalangan nombor prima berturut-turut sehingga 100 juta. Warna padanan sesuai dengan jurang yang sepadan. (MH Weissman, CC BY) Bilangan ahli teori menjangkakan beberapa perubahan, tetapi apa yang mereka dapati jauh melebihi jangkaan. Prima dipisahkan oleh jurang yang berlainan; sebagai contoh, 23 adalah enam nombor dari 29. Tetapi prima 3-lalu-9 seperti 23 dan 29 jauh lebih biasa daripada prima 7-lalu-3, walaupun keduanya berasal dari jurang enam.
Ahli matematik tidak lama lagi mendapati penjelasan yang munasabah. Tetapi, apabila ia datang kepada kajian primes berturut-turut, ahli matematik adalah (kebanyakannya) terhad kepada analisis data dan pujukan. Piawaian emas matematik Proofs-matematikawan untuk menjelaskan mengapa perkara itu benar-benar kelihatan seolah-olah beberapa dekad.
Artikel ini pada asalnya diterbitkan di The Conversation.
Martin H. Weissman, Profesor Madya Matematik, University of California, Santa Cruz
